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Seminar Talks


  • Alexander Müller-Hermes, University of Copenhagen
    June 12 2019, 1pm, 2S16

    When do composed maps become entanglement breaking?

    For many completely positive maps repeated compositions will eventually become entanglement breaking. To quantify this behaviour we develop a technique based on the Schmidt number: If a completely positive map breaks the entanglement with respect to any 2-dimensional ancilla, then applying it to part of a bipartite quantum state will result in a Schmidt number bounded away from the maximum possible value. Iterating this result puts a successively decreasing upper bound on the Schmidt number arising in this way from compositions of such a map. By applying this technique to completely positive maps in dimension three that are also completely copositive we prove the so-called PPT squared conjecture in this dimension. We then give more examples of completely positive maps where our technique can be applied, e.g. maps close to the completely depolarizing map, and maps of low rank.

  • Marek Kaluba, Adam Mickiewicz University, Poznan
    January 31 2019, 2pm, SR

    It has been a longstanding question whether Aut(Fn), the group of automorphisms of free group has Kazhdan property (T). The property for this particular group (and its Kazhdan constant) has far reaching consequences including the efficiency non-deterministic algorithms for finite groups. During the talk we will briefly discuss the the results of Ozawa which make the computational approach to the Kazhdan property (T) possible. It is known that property (T) is equivalent to positivity of the element Δ2 - λΔ in the full group *-algebra, where Δ is the group Laplacian. In Ozawa's formulation, positivity is equivalent to the existence of a sum-of-squares decomposition of Δ2 - λΔ in the real group ring. This in turn is equivalent to the feasibility of a certain problem of semi-definite optimisation. We will describe the algorithm encoding the optimisation problem, and how an (imprecise) numerical solution can be turned into a mathematical proof. Since the problem for Aut(Fn), the automorphism group of the free group on n generators is due to its size out of reach of the state-of- the-art solvers (even for n=4) we will show how to use the representation theory of finite groups to obtain a smaller, equivalent problem. This leads to constructive (alas) computer-assisted proof that Aut(Fn) has Kazhdan's property (T). The talk is based on our paper 1712.07167, which is a joint work with Piotr.W. Nowak (IMPAN, Warsaw) and Narutaka Ozawa (RIMS, Kyoto).

  • Igor Klep, University of Auckland
    November 15 2018, 4pm, HS F

    A Positivstellensatz is a fundamental result in real algebra, providing algebraic certificates for positivity of polynomials on semialgebraic sets. In this talk Positivstellensätze for trace polynomials positive on semialgebraic sets of n×n matrices are provided. A Krivine-Stengle-type Positivstellensatz is proved characterizing trace polynomials nonnegative on a general semialgebraic set K using weighted sums of hermitian squares with denominators. The weights in these certificates are obtained from generators of K and traces of hermitian squares. For compact semialgebraic sets K Schmüdgen- and Putinar-type Positivstellensätze are obtained: every trace polynomial positive on K has a sum of hermitian squares decomposition with weights and without denominators. The methods employed are inspired by invariant theory, classical real algebraic geometry and functional analysis. Procesi and Schacher in 1976 developed a theory of orderings and positivity on central simple algebras with involution and posed a Hilbert’s 17th problem for the universal central simple algebra of degree n: is every totally positive element a sum of hermitian squares? They gave an affirmative answer for n = 2. In this talk we will present a negative answer for n = 3. Consequently, including traces of hermitian squares as weights in the Positivstellensätze is indispensable. This is based on joint work with Špela Špenko and Jurij Volčič.

  • Laurens Wittchow, University of Leipzig
    June 7 2018, 4pm, SR 437

    "Durch eine Gerade und einen außerhalb derselben gelegenen Punkt geht genau eine Ebene“, oder: „Hat eine Gerade mit einer Ebene mehr als einen Punkt gemein, so hat sie alle ihre Punkte mit der Ebene gemein“ – dies sind elementare Aussagen über den dreidimensionalen Raum, welche ohne die Begriffe der Kongruenz oder Parallelität auskommen. Gibt es tiefergehende Gesetzmäßigkeiten im „Raum unserer Anschauung“, welche ebenso unabhängig sind von diesen Begriffen? Ist der Verzicht auf diese für die Geometrie doch sonst so zentralen Begriffe sinnvoll? Diese Fragen sind entschieden mit Ja zu beantworten. Seit Anfang des 19. Jahrhunderts gibt es sogar einen eigenen Zweig der Geometrie, welcher sich ausschließlich der Erforschung solcher Gesetzmäßigkeiten widmet, – die sogenannte Geometrie der Lage. Im Vortrag soll ein kleiner Einblick in dieses Gebiet der Geometrie gegeben und versucht werden, etwas von seinem Reiz zu vermitteln.

  • Milon Brunner, University of Leipzig
    June 6 2018, 4pm, SR 437

    "Unter der Axiomatisierung einer Theorie versteht man ihre Darstellung in der Weise, dass gewisse Sätze dieser Theorie, die Axiome, an den Anfang gestellt werden und weitere Sätze durch logische Deduktion aus ihnen abgeleitet werden." Rudolf Carnap

    Die hierdurch charakterisierte und erstmals 300 v. Chr. von Euklid genutzte axiomatische Methode ist heute aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken. Ausgehend von Gottlob Frege (1848 - 1925) hat man sie sogar auf die Logik selbst angewendet: Auch die Form des Mathematisierens, das logische Schließen, wird auf wenige Axiome, die sogenannten Grundschlussregeln, zurückgeführt. Die Quintessenz dieser Untersuchungen ist der Begriff des formalen Systems. Die dadurch gewonnene Exaktheit des Argumentierens erkauft man sich allerdings mit einer Ausführlichkeit, die dem intuitiven Denken fremd ist. In einem formalen Beweis sind die einzelnen logischen Schritte oft so klein, dass man beim Studieren eines solchen leicht die zu beweisende Aussage aus den Augen verliert und in eine "punktweise" Verifikation verfällt. Man kann dann nicht mehr davon sprechen, den Beweis als Ganzes vor Augen zu haben. Aus diesem Grunde sind formale Sprachen für die Mathematik bisher vor allem von theoretischem Interesse und spielen in der alltäglichen Mathematik kaum eine Rolle.
    In meiner Diplomarbeit beschäftige ich mich mit einer konkreten formalen Sprache, der von Arnold Oberschelp (*1932) u. a. entwickelten Klassenlogik, einer Erweiterung der Prädikatenlogik (die Standardlogik der heutigen Mathematik). Ihr ist wesentlich, dass gewisse sehr einfache Klassenbildungen bereits als rein logisch aufgefasst werden. Im Vortrag möchte ich die Klassenlogik vorstellen und versuchen deutlich zu machen, wie sie dazu beitragen könnte, einen exakten und gleichzeitig angemessenen mathematischen Beweisbegriff zu realisieren.


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