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Ma­gische Quad­rate in der Quan­ten­welt

Die Magie der Mathematik drückt sich besonders in den magischen Quadraten aus. Nun haben die Quantenphysikerin Gemma De las Cuevas und die Mathematiker Tim Netzer und Tom Drescher den Begriff des quantenmagischen Quadrats eingeführt und erstmals die Eigenschaften dieser Quantenversion von magischen Quadraten im Detail untersucht.

Magische Quadrate faszinieren die Menschen seit je her. Das älteste bekannte magische Quadrat stammt aus China und ist über 2.000 Jahre alt. Eines der berühmtesten magischen Quadrate ist in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I zu finden. Ein weiteres findet sich an der Fassade der Sagrada Família in Barcelona. Ein magisches Quadrat ist ein Zahlenquadrat, bei dem die Summe der Zahlen in der jeder Spalte und jeder Zeile die gleiche Zahl ergibt. Im magischen Quadrat der Sagrada Família zum Beispiel ergibt jede Zeile und jede Spalte 33.

Enthält das magische Quadrat reelle Zahlen und die Zeilen- und Spaltensummen beträgt jeweils 1, dann handelt es sich eine doppelt-stochastische Matrix. Ein besonderes Beispiel wäre eine Matrix, die überall 0 enthält, außer einer 1 in jeder Spalte und jeder Zeile. Dies nennt man eine Permutationsmatrix oder Vertauschungsmatrix. Ein berühmtes Theorem besagt, dass jede doppelt-stochastische Matrix als eine konvexe Kombination von Permutationsmatrizen dargestellt werden kann. Mit anderen Worten bedeutet dies, dass Permutationsmatrizen „alle Geheimnisse“ der doppelt-stochastischen Matrizen „enthalten“ – genauer gesagt, dass letztere vollständig durch die ersteren charakterisiert werden können.

In einer neuen Arbeit im Journal of Mathematical Physics haben nun Tim Netzer und Tom Drescher vom Institut für Mathematik und Gemma De las Cuevas vom Institut für Theoretische Physik den Begriff des quantenmagischen Quadrats eingeführt, bei dem es sich um ein magisches Quadrat handelt, das man aber anstelle von Zahlen mit Matrizen füllt. Dabei handelt es sich um eine nicht-kommutative und damit quantenmechanische Verallgemeinerung eines magischen Quadrats. Die Autoren zeigen, dass quantenmagische Quadrate nicht so leicht charakterisiert werden können wie ihre „klassischen“ Verwandten. Genauer gesagt sind quantenmagische Quadrate keine konvexen Kombinationen von Quantenpermutationsmatrizen. „Sie sind vielfältiger und komplizierter zu verstehen“, sagt Tom Drescher. „Dies ist allgemein so, wenn Verallgemeinerungen von nicht-kommutativen Fällen untersucht werden.“

„Diese Arbeit steht am Schnittpunkt zwischen algebraischer Geometrie und Quanteninformation und zeigt die Vorteile interdisziplinärer Zusammenarbeit auf“, freuen sich Gemma De las Cuevas und Tim Netzer.

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