Digitaltechnik und Halbleiterschaltungsentwurf

Zahlendarstellung WebApp

Zahlensysteme dienen zur Darstellung von Zahlen durch geeignete Ziffern und deren systematische Anordnung. In polyadischen Zahlensystemen hängt die Wertigkeit eines Symbols von dessen Position ab. Der Aufbau eines solchen Systems kann formal mit $$ N = \sum\limits_{i=0}^n a_i \cdot b^i = a_n \cdot b^n + \dots + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0 $$ Wobei \(b\) die verwendete Basis ist und \(a_i\) die Ziffern der darzustellenden Zahl \(N\) sind.

Vom Dezimalsystem zur Basis \(b\)

Zum Konventieren einer Zahl \(N=\) aus dem Dezimalsystem in das System zur Basis \(b=\) , muss diese wiederholt durch die Basis \(b\) dividiert werden.

Die Reste der Divisionen von unten nach oben gelesen ergeben die darzustellende Zahl:

Zurück ins Dezimalsystem

Zum Konventieren einer Zahl \(N_b=\) aus dem Zahlensystem zur Basis \(b=\) in das Dezimalsystem müssen die Koeffizienten mit der jeweiligen Potenz multipliziert und aufsummiert werden.

Die Summe ergibt

2er-Komplement Darstellung

Zum Darstellen von negativen Zahlen, ohne Zuhilfenahme eines Vorzeichen-Symbols, können mehrere Formate eingesetzt werden. (siehe WebApp zu negativen Zahlen) In Rechenwerken kommt meist das Zweierkomplement zum Einsatz, da es sehr einfach realisiert werden kann. Fromal kann eine Zahl im 2er- Komplement wie folgt angeschrieben werden: $$ N = a_{n-1} \dots a_1 a_0 = - a_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \sum\limits_{i=0}^{n-2} a_i \cdot 2^i $$ Meist wird die Anzahl der verwendeten Bits (n = ) und damit der verfügbare Wertebereich \([-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]\) d.h. \(\) festgelegt. Der Betrag der Zahl \(N=\) wird zunächst in seine Binärrepräsentation (1111011) umgewandelt. Das 2er-Komplement erhält man durch Invertieren aller Bits und anschließender Addition eines LSB (least significant bit).

Zahl in 2er-Komplement Darstellung:

Die Rückrechnung erfolgt nach obiger Gleichung durch Aufsummieren der Potenzen \(a_{i}\cdot b^i\) für \(i=0,\dots,n-2\) und (gegebenenfalls) Subtraktion der höchsten Potenz \(\).

Die Summe ergibt:

Festkommaformat (rein gebrochene Zahlen)

Eine Zahl \(x\) mit \(|x| \leq 1\) kann nach folgender Formel im Binärsystem angeschrieben werden: $$ x = a_{n-1}\bullet a_{n-2}\dots a_1 a_0 \\ = -a_{n-1}\cdot 2^0 + \sum\limits_{i=1}^{n-1}a_{n-1-i}\cdot 2^{-i} $$ Typischerweise wird wiederum die Anzahl der Bits \(n = \) und damit die Auflösung fest vorgegeben. Damit können analog zum 2er-Komplement Zahlen im Bereich \([-1, 1-2^{-(n-1)}]\) d.h. \([-1, 0.875]\) abgebildet werden. Die Umrechnung einer Zahl \(x = \) erfolgt durch wiederholte Multiplikation mit 2.

Von oben nach unten gelesen ergeben sich die Nachkommastellen der Binärrepräsentation:
Die Umwandlung der negativen Zahl erfolgt analog zum 2er-Komplement.